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Teorema de Weierstrass


Em matemática, o Teorema de Weierstrass ou Teorema dos Extremos afirma que qualquer função contínua de um intervalo [a,b] em R {displaystyle mathbb {R} ,} é limitada e que, além disso, tem um máximo e um mínimo nesse intervalo.

Um teorema relacionado é o Teorema da Limitância, que determina que uma função f contínua e determinada em um intervalo fechado [a,b]

é limitada nesse nesse intervalo. Ou seja, existem números reais M e m tal que

m ≤ f(x) ≤ M

O Teorema de Weierstrass incrementa o Teorema da Limitância ao dizer que f, em [a,b], não só é limitada, mas também tem como maior valor o Limite Máximo e como menor valor o Limite Mínimo.

O Teorema é usado para provar o Teorema de Rolle. Em uma formulação de Karl Weierstrass, o teorema determina que em uma função contínua de um espaço compacto contínuo com contradomínio sendo um subconjunto dos Reais possui pontos de máximo e mínimo, que podem ser mínimos locais ou globais, e podem ser tanto pontos no meio da curva quanto seus próprios extremos.

Fonte: Wikipedia (CC-BY)

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