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Números ordinais


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Os ordinais foram apresentados por Georg Cantor en 1883 para acomodar sequências infinitas e para classificar conjuntos com certos tipos de estruturas de ordem neles. Ele os derivou por acidente, enquanto trabalhava num problema que envolvia séries trigonométricas – veja em Georg Cantor.

Os ordinais finitos (e cardinais finitos) são os números naturais: 0, 1, 2..., já que quaisquer duas ordens de um conjunto finito são isomórficas de ordem. O menor ordinal infinito é o ω, que é identificado com o número cardinal ℵ 0 {displaystyle aleph _{0}} . Entretanto, no caso transfinito, além de ω, ordinais elaboram uma distinção mais refinada do que os cardinais na contagem de suas informações de ordem. Enquanto há somente um cardinal infinito contável, que é o ℵ 0 {displaystyle aleph _{0}} , há incontáveis ordinais infinitos contáveis, que são

ω, ω + 1, ω + 2, …, ω•2, ω•2 + 1, …, ω2, …, ω3, …, ωω, …, ωωω, …, ε0, ….Aqui, adição e multiplicação não são comutativas: em particular, 1+ ω é ω, ao contrário de ω+1, assim como 2* ω é ω, enquanto ω*2 não é. O conjunto de todos os ordinais contáveis constitui o primeiro ordinal incontável ω1, que é identificado como cardinal (próximo cardinal após o ). Cardinais bem-ordenados são identificados com seus ordinais iniciais, ou seja, o menor ordinal daquela cardinalidade. A cardinalidade de um ordinal é a associação de ordinais com cardinais.

Em geral, cada ordinal α é o tipo de ordem do conjunto de ordinais estritamente menores que o ordinal, o próprio α. Esta propriedade permite que todo ordinal seja representado como o conjunto de todos os ordinais menores que ele. Ordinais podem ser categorizados como: zero, ordinais sucessor e ordinais limite (de várias cofinalidades). Dada uma classe de ordinais, pode-se identificar um α-ésimo membro daquela classe, ou seja, pode-se indexá-los (conta-los). Tal classe é fechada e não-limitada se sua função de indexação é contínua e nunca para. A foma normal de Cantor representa unicamente cada ordinal como um somatório finito de potências ordinais de ω. Entretanto, isto não pode forma a base da notação universal dos ordinais devido a tal representação auto referencial, como ε0 = ωε0. Ordinais cada vez maiores podem ser definidos, mas eles ficam mais e mais difíceis de descrever. Qualquer número ordinal pode ser transformado em um espaço topológico por atribuí-lo com a topologia de ordem; esta topologia é discreta se e somente se o ordinal é um cardinal contável, ou seja, no máximo ω. Um subconjunto de ω+1 é aberto na topologia de ordem se e somente se ou ele é cofinito ou ele não contém ω como elemento.

Fonte: Wikipedia (CC-BY)

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