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Número complexo


N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C ⊂ ⋯ {displaystyle mathbb {N} subset mathbb {Z} subset mathbb {Q} subset mathbb {R} subset mathbb {C} subset cdots }

Naturais N {displaystyle mathbb {N} } Inteiros Z {displaystyle mathbb {Z} } Racionais Q {displaystyle mathbb {Q} } Reais R {displaystyle mathbb {R} } ImagináriosComplexos C {displaystyle mathbb {C} } Números hiper-reaisNúmeros hipercomplexos

Quaterniões H {displaystyle mathbb {H} } Octoniões O {displaystyle mathbb {O} } Sedeniões S {displaystyle mathbb {S} } Complexos hiperbólicos R 1 , 1 {displaystyle mathbb {R} ^{1,1}} Quaterniões hiperbólicosBicomplexosBiquaterniõesCoquaterniõesTessarines

O fato de um número negativo não ter raiz quadrada parece ter sido sempre claro para os matemáticos que se depararam com esta questão, até a concepção do modelo dos números complexos. Um número complexo é um número z {displaystyle z} que pode ser escrito na forma z = x + y i {displaystyle z=x+yi} , sendo x {displaystyle x} e y {displaystyle y} números reais e i {displaystyle i} denota a unidade imaginária. Esta tem a propriedade i 2 = − 1 , {displaystyle i^{2}=-1,} sendo que x {displaystyle x} e y {displaystyle y} são chamados respectivamente parte real e parte imaginária de z {displaystyle z} .

O conjunto dos números complexos, denotado por C {displaystyle mathbb {C} } , contém o conjunto dos números reais. Munido de operações de adição e multiplicação obtidas por extensão das operações de mesma denominação nos números reais, adquire uma estrutura algébrica denominada corpo algebricamente fechado, sendo que esse fechamento consiste na propriedade que tem o conjunto de possuir todas as soluções de qualquer equação polinomial com coeficientes naquele mesmo conjunto (no caso, o conjunto dos complexos). O conjunto dos números complexos também pode ser entendido por seu isomorfismo com um espaço vetorial sobre R {displaystyle mathbb {R} } , o conjunto dos reais.

Além disso, a cada número complexo podemos atribuir um número real positivo chamado módulo, dado por:

| z | = x 2 + y 2 . {displaystyle |z|={sqrt {x^{2}+y^{2}}}.} O módulo de z, visto como uma norma no espaço vetorial, conduz a um espaço normado topologicamente completo.

Os números complexos são representados geometricamente no plano complexo. Nele, representa-se a parte real, x , {displaystyle x,} no eixo horizontal e a parte imaginária, y , {displaystyle y,} no eixo vertical.

Os números complexos são utilizados em várias áreas do conhecimento, tais como engenharia, eletromagnetismo, física quântica, teoria do caos, além da própria matemática, em que são estudadas análise complexa, álgebra linear complexa, álgebra de Lie complexa, com aplicações em resolução de equações algébricas e equações diferenciais.

Em algumas situações, é comum a troca da letra i {displaystyle i} pela letra j , {displaystyle j,} devido ao frequente uso da primeira como indicação de corrente elétrica.

Fonte: Wikipedia (CC-BY)

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