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Multiplicadores de Lagrange


Em matemática, em problemas de otimização, o método dos multiplicadores de Lagrange permite encontrar extremos (máximos e mínimos) de uma função de uma ou mais variáveis suscetíveis a uma ou mais restrições.

Por exemplo (veja a figura 1 à direita), considere o problema de otimização

maximize f ( x , y ) , {displaystyle f(x,y),} ou seja, deseja-se encontrar o ponto máximo desta funçãosujeito a g ( x , y ) = c . {displaystyle g(x,y)=c.} O método consiste em introduzir uma variável nova ( λ , {displaystyle lambda ,} normalmente), chamada de multiplicador de Lagrange. A partir disso, estuda-se a função de Lagrange, assim definida:

Λ ( x , y , λ ) = f ( x , y ) − λ ⋅ ( g ( x , y ) − c ) , {displaystyle Lambda (x,y,lambda )=f(x,y)-lambda cdot {Big (}g(x,y)-c{Big )},} Nesta função, o termo λ {displaystyle lambda } pode ser adicionado ou subtraído. Se f ( x , y ) {displaystyle f(x,y)} é um ponto de máximo para o problema original, então existe um λ {displaystyle lambda } tal que ( x , y , λ ) {displaystyle (x,y,lambda )} é um ponto estacionário para a função lagrangiana, ou seja, existe um ponto para o qual as derivadas parciais de Λ {displaystyle Lambda } são iguais a zero.

No entanto, nem todos os pontos estacionários permitem uma solução para o problema original. Portanto, o método dos multiplicadores de Lagrange garante uma condição necessária para a otimização em problemas de otimização com restrição.

O nome "multiplicador de Lagrange" é uma homenagem a Joseph Louis Lagrange.

Fonte: Wikipedia (CC-BY)

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