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Matemática lógica


Lógica Matemática é uma sub-área da matemática que explora as aplicações da lógica formal para a matemática. Basicamente, tem ligações fortes com matemática, os fundamentos da matemática e ciência da computação teórica. Os temas unificadores na lógica matemática incluem o estudo do poder expressivo de sistemas formais e o poder dedutivo de sistemas de prova matemática formal.

A lógica matemática é muitas vezes dividida em campos da teoria dos conjuntos, teoria de modelos, teoria da recursão e teoria da prova. Estas áreas compartilham resultados básicos sobre lógica, particularmente lógica de primeira ordem, e definibilidade. Na ciência da computação, especialmente na classificação ACM, onde ACM vem do inglês (Association for Computing Machinery) , lógica matemática engloba tópicos adicionais não descritos neste artigo; ver lógica em ciência da computação para este tópico anterior.

Desde o seu surgimento, a lógica matemática tem contribuído e motivado pelo estudo dos fundamentos da matemática. Este estudo foi iniciado no final do século XIX, com o desenvolvimento de arcabouço axiomático para geometria, aritmética e análise. No início do século XX a lógica matemática foi moldada pelo programa de David Hilbert para provar a consistência das teorias fundamentais. Os resultados de Kurt Godel, Gerhard Gentzen, e outros, desde resolução parcial do programa, e esclareceu as questões envolvidas em provar a consistência. O trabalho na teoria dos conjuntos mostrou que quase toda a matemática ordinária pode ser formalizada em termos de conjuntos, embora existam alguns teoremas que não podem ser demonstrados em sistemas axiomáticos comuns para a teoria dos conjuntos. O trabalho contemporâneo nos fundamentos da matemática, muitas vezes se concentra em estabelecer quais as partes da matemática que podem ser formalizadas, em particular, sistemas formais (como em matemática reversa) ao invés de tentar encontrar as teorias em que toda a matemática pode ser desenvolvida.

Sub-áreas e escopo O manual de lógica matemática divide a matemática contemporânea em quatro áreas:

Teoria dos conjuntos;teoria dos modelos;teoria da recursão;teoria da prova e da matemática construtiva consideradas partes de uma única área.Cada área tem um foco distinto, apesar de ter várias técnicas e resultados comuns entre si. A divisão das referidas áreas e os limites que separam a lógica matemática de outros campos de estudo não são bem definidas. A teoria da incompletude de Gödel representa não só um marco na teoria da recursão e teoria da prova, mas também contribuiu para o teorema de Löb da teoria dos modelos. O método do forçamento ("forcing") é aplicada na teoria dos conjuntos, na teoria dos modelos, na teoria da recursão, assim como no estudos da matemática intuiticionística.

O campo matemático conhecido como o da teoria das categorias usa muitos métodos axiomáticos formais nos quais se inclui o estudo da lógica categórica, mas essa teoria não é comumente considerada um sub-ramo da lógica. Por causa da sua aplicabilidade em diversos campos da lógica, matemáticos como Saunders Mac Lane propuseram usar a teoria das categorias como fundamentos da matemática, independentemente da teoria dos conjuntos. Essas fundamentações usam tópicos que em muito se parecem com modelos generalizados das teorias dos conjuntos, e empregam lógica clássica ou não-clássica.

Fonte: Wikipedia (CC-BY)

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