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Lagrangiana


Na mecânica clássica, a Função de Lagrange L {displaystyle {mathcal {L}}} ou simplesmente lagrangiana L de um sistema é uma função obrigatoriamente expressa em termos das coordenadas generalizadas q i {displaystyle q_{i}} , das taxas de variação destas coordenadas (velocidades generalizadas) q ˙ i {displaystyle {dot {q}}_{i}} e do tempo t, e dada matematicamente pela subtração da energia cinética ( T ) pela energia potencial generalizada ( U ) do sistema a qual atrela-se:

L ( q i , q ˙ i , t ) = T − U {displaystyle {mathcal {L}}_{(q_{i},{dot {q}}_{i},t)}=T-U} [Ref. 1][Ref. 2][Ref. 3].Por padrão a energia potencial é função apenas das coordenadas generalizadas (sistemas conservativos) e/ou do tempo, contudo, a exemplo do que observa-se para o caso eletromagnético, quando na forma adequada, admite-se o uso de um potencial "generalizado", esse função também das velocidades generalizadas. O potencial eletromagnético generalizado [Ref. 3] permite a descrição de partículas elétricas imersas em campos eletromagnéticos via Mecânica de Lagrange, a exemplo. Forças dissipativas proporcionais às velocidades generalizadas também são admissíveis via potenciais dissipativos, a exemplo o potencial dissipativo de Rayleigh . [Ref. 3].

A lagrangiana é termo central na integral temporal que define o que se denomina em Física por ação. Diferente da Mecânica de Newton, junto com o princípio de Hamilton da ação em extremo, a lagrangiana e a Mecânica de Lagrange definem toda a dinâmica de um sistema sem recorrer a vetores e diagramas vetoriais, fazendo-o de forma a usar essencialmente funções escalares. Nesses termos a lagrangiana porta-se como uma equação fundamental do sistema a qual associa-se, encerrando em si todas as informações acerca do sistema. Pode-se pois, a partir dela e do formalismo atrelado à Mecânica de Lagrange, obter qualquer informação desejada acerca do sistema. A lagrangiana possui dimensões de energia, joules no S.I. .[Ref. 1][Ref. 2][Ref. 3]

Associado à lagrangiana de um sistema, via Transformada de Legendre, tem-se o hamiltoniano H {displaystyle {mathcal {H}}} do sistema, esse uma função das coordenadas generalidas q i {displaystyle q_{i}} , dos momentos conjugados generalizados p i {displaystyle p_{i}} e do tempo t. O Hamiltoniano H ( q i , p i , t ) {displaystyle H_{(q_{i},p_{i},t)}} , definido por H = T + U, também caracteriza uma equação fundamental, e juntamente com o formalismo da Mecânica de Hamilton, constitui formalismo alternativo plenamente equivalente ao de Lagrange no que tange à descrição da dinâmica do sistema [Ref. 2]. Tais formalismos encontram importante aplicação também dentro da relatividade [Ref. 4].

Embora amplamente aplicada ao campo da dinâmica de energia e matéria, o cálculo variacional não limita o raciocínio à campos específicos da Física. Diversos problemas nas mais variadas áreas mostram-se suscetíveis ao tratamento similar.

Fonte: Wikipedia (CC-BY)

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