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Equação linear


Diz-se em matemática que uma equação polinomial a n {displaystyle n} indeterminadas da forma

a n X n + a n − 1 X n − 1 + ⋯ + a 1 X 1 + a 0 = 0 A , {displaystyle a_{n}X_{n}+a_{n-1}X_{n-1}+cdots +a_{1}X_{1}+a_{0}=0_{A},} em que os coeficientes a 0 , a 1 , … , a n {displaystyle a_{0},a_{1},ldots ,a_{n}} pertencem a um anel comutativo A {displaystyle A} e 0 A ∈ A {displaystyle 0_{A}in A} é o nulo do anel, é uma equação linear sobre A {displaystyle A} . De outro modo, fixado um polinômio p ∈ A [ X 1 , … , X n ] {displaystyle pin A[X_{1},ldots ,X_{n}]} de grau um,

p = 0 A {displaystyle p=0_{A}} é uma equação linear.

Uma equação linear pode pá que pi = ios, p − a = 0 A {displaystyle p-a=0_{A}} e p − q = 0 A {displaystyle p-q=0_{A}} são equações lineares reduzidas a forma mais simples.

Nem sempre uma equação linear sobre A {displaystyle A} possuirá solução sobre A {displaystyle A} , mas sempre possuirá solução em alguma extensão de A {displaystyle A} . Por exemplo, se A {displaystyle A} é um subanel de R {displaystyle mathbb {R} } , toda equação linear sobre A {displaystyle A} possuirá solução em R {displaystyle mathbb {R} } . Na verdade, para ser mais preciso, se A {displaystyle A} é um subanel de um subcorpo K {displaystyle mathbb {K} } de R {displaystyle mathbb {R} } , então toda equação linear sobre A {displaystyle A} possui solução em K {displaystyle mathbb {K} } .

Equações lineares com coeficientes reais são de grande importância em física, engenharia e matemática aplicada. Muitos problemas modelados por equações não-lineares podem ser aproximados localmente por equações lineares. Realmente, essas áreas valem-se largamente do emprego de variedades, objetos geométricos que podem ser aproximados, localmente, por espaços euclideanos, objetos geométricos descritos corretamente por equações lineares.

Fonte: Wikipedia (CC-BY)

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